mlbeginner's blog

$A=\begin{pmatrix}a_{00} & a_{01} & a_{02}\\a_{10} & a_{11} & a_{12}\\a_{20} & a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$

を例に。行列式は余因子展開することで求められるので、

$|A|=a_{00}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+a_{01}\begin{vmatrix}a_{10}&a_{12}\\a_{20}&a_{22}\end{vmatrix}$

$+a_{02}\begin{vmatrix}a_{10}&a_{11}\\a_{20}&a_{21}\end{vmatrix}$

$=a_{00}\Delta_{00}+a_{01}\Delta_{01}+a_{02}\Delta_{02}$

$=\sum^3_{j=1}a_{0j}\Delta_{0j}$

ここで、 $\frac{\partial |A|}{\partial a_{kl}}=\Delta_{kl}$ より

$\frac{\partial |A|}{\partial A}=\begin{vmatrix}\Delta_{00}&\Delta_{01}&\Delta_{02}\\\Delta_{10}&\Delta_{11}&\Delta_{12}\\\Delta_{20}&\Delta_{21}&\Delta_{22}\end{vmatrix}$ となってこれを余因子行列 ${\rm adj} A$ と呼ぶ。

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{\rm adj} A$ より、

$\frac{\partial |A|}{\partial A}={\rm adj} A=|A|(A^{-1})^{T}$

*参考

http://www.r.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/~nakagawa/SML1/math1.pdf

http://www28.atwiki.jp/nopu/d/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%BE%AE%E5%88%86